Nu judecați o recurență după formula generală

De cele mai multe ori, matematica nu este tocmai subiectul preferat pentru cei mai mulți dintre noi. Adevărul e că la prima vedere nu pare tocmai atractivă. Dacă vreți să faceți un sondaj de opinie în direcția asta, începeți la următoarea petrecere să vorbiți cu persoane necunoscute despre matematică și veți obține reacții de disconfort, asta dacă nu cumva ați rămas deja singuri la masă cu idei care ar fi putut schimba lumea.

Cred că cel mai simplu este să analizăm un exemplu (de aici jumătate dintre voi vor găsi totul plictisitor, dar spre bucuria voastră am găsit câteva poze prin care să va conving să citiți mai departe).

Știu, la prima vedere arată groaznic, chiar și pentru cei mai răbdători dintre noi. Totuși, întrebarea bună, oricare ar fi ea, ar trebui să vă ducă la gândul că ecuația de mai sus are o semnificație relevantă, asta pentru că  nu s-ar fi străduit nimeni să o scrie (altfel, este o distracție neîmpărtășită de lume de a scrie ecuații pe care v-o recomand din toată inima).

Bun, putem trece la explicat, asta cu riscul să îi plictisesc pe cei care au recunoscut tiparul, dar mai rău îmi pare de cei care nu au avut încă șansa să-l descopere de unii singuri. Astfel, vă provoc să găsiți o bucată de hârtie în casă și să vă aventurați în magia ridicării la putere. Mult noroc, încă țin minte primele calcule cu ecuația asta și nu sunt tocmai de ținut minte, dar poate că unii dintre voi vor empatiza cu dorința mea nebună de calcul.

Totul este pe cale să devină extrem de interesant, așa că pregătiți-vă să aflați că soluția este chiar sub nasul vostru (bineînțeles, dacă ați reușit să aflați răspunsul și să-l scrieți pe o foaie, el chiar este sub nasul vostru).

Totuși, aveți grijă să faceți asta în liniște. Ar fi destul de nepoliticos să-i deranjați pe cei din jurul vostru care nu se distrează făcând aceste calcule. Dacă vreți să-i faceți mai fericiți, sunt sigur că vă puteți folosi de tot ce urmează (asta dacă nu cumva un egocentrism exagerat vă reține de la a împărți extazul matematic cu ceilalți, caz în care sunt nevoit să scriu de mai multe ori ca să dau tuturor o șansă).

Lăsați-mă să vă ajut, vă rog să înțelegeți că îmi este greu să mă abțin:

Faptul ca albinuța din imagine se îndreaptă spre floare este doar o aparență. În realitate, albinuța noastră admiră cu sete setul de date pe care îl obținem folosind ecuația dată mai devreme. Asta se datorează magiei pe care aceste numere o împărtășesc: un număr este suma celor două numere de înaintea lui. Din nefericire, primele două numere par să fie singure în această relație, dar ele sunt de fapt cele mai importante numere din cadrul acesteia.

Numerele cu această proprietate poartă numele matematicianului italian Fibonacci. Îmi cer scuze față de cei mai entuziasmați dintre voi, dar voi scrie despre acesta cu altă ocazie. Să ne întoarcem la numerele noastre.

O variantă foarte bună de a vizualiza o relație între numere este o așa-zisă relație de recurență:

Da, avem nevoie să specificăm clar numerele de la care pornim. Acestea stau în umbră, dictând în șoaptă celorlalte numere valorile pe care le vor lua, urmând ca ele la rândul lor să continue pentru cele care urmează. Aceste prime două numere pot avea valori de orice natură, doar că de această dată ne vom bucura de un caz clasic în care jocul  începe de la 0 și 1.

În continuare, vom încerca să ajungem încet-încet la prima ecuație  (da, cea care arată cum arată, dar mai aveți puțină răbdare).Dacă rescriem ultima relație:

putem face o analogie cu ecuația de gradul al II-lea, dar o să aveți nevoie de o atenție sporită în continuare, pentru că urmează un calcul de rutină, dar nu e cazul să abandonăm (ce vreau să spun este că explicarea acestui calcul nu este tocmai incitantă, spre deosebire de rezultatul pe care acesta îl obține). Următoarea ecuație (ecuație atașată) urmează să fie rezolvată fără comentarii (nu am vrut să jignesc niciodată vreo ecuație, dar îi voi acorda timp să strălucească cu altă ocazie).

 

Pentru cei mai neexperimentați în tainele calcului ecuației de gradul al II-lea, m-am asigurat să înțelegeți metoda de calcul citind, eventual, teoria pentru tocilari care implica literele a,b și c. Mi-am permis să rezerv un loc mai special acestor litere mai mult decât vitale și nu să le arunc într-o formulă obosită de liceu.

Acum că am aflat rădăcinile  (soluțiile) acestei ecuații, nu avem decât să le folosim în cadrul unei formule care ne va salva viața. Fiți pregătiți, e un rezultat care cel puțin merită ținut minte pentru că este important în cele ce urmează.

Vă prezint formula generală a recurenței liniare de ordinul al II-lea, cunoscută și sub numele de: Cât mai durează chestia asta?

Fără să ne întristăm, tot ce ne rămâne de făcut este să aflăm cele două noi constante (v-am spus că litera c apare în locuri mai interesante). Asta se face rezolvând imediat sistemul:

Acum nu avem decât să desfacem șampania și să ne bucurăm.

Dacă nu sunteți prea ocupați petrecând după marele succes, puteți găsi în acest exemplu metoda generală de rezolvare a recurențelor liniare, asta dacă ați fost într-adevăr atenți. Provocarea cea mai mare este să vedeți ce se întâmplă în cazul în care rădăcinile ecuației atașate sunt egale și dacă acestea devin sau nu numere complexe (bine, și numerele reale sunt complexe, dar ați înțeles la ce mă refer). Mai mult, metoda funcționează și pentru recurențe liniare de ordin n, unde n e un număr natural oarecare. N-o să vă fur distracția de a lucra separat cu fiecare dintre aceste cazuri, dar pentru orice eventualitate sunt pe platformă. Mă puteți contacta imediat pe TeachU, eventual puteți afla și mai multe lucruri periculos de interesante.